Question

已知直線l經過點A(2,4)，且被平行直線l₁：x－y＋1＝0與l₂：x－y－1＝0所截得的線段的中點M在直線x＋y－3＝0上．求直線l的方程．

Answer 1

[解析]　解法一：∵點M在直線x＋y－3＝0上，

∴設點M坐標為(t,3－t)，則點M到l₁、l₂的距離相等，

即＝，

解得t＝，∴M.

又l過點A(2,4)，

由兩點式得＝，

即5x－y－6＝0，

故直線l的方程為5x－y－6＝0.

解法二：設與l₁、l₂平行且距離相等的直線l₃：x－y＋c＝0，由兩平行直線間的距離公式得＝，解得c＝0，即l₃：x－y＝0.由題意得中點M在l₃上，又點M在x＋y－3＝0上．

解方程組，得.

∴M.又l過點A(2,4)，

故由兩點式得直線l的方程為5x－y－6＝0.

解法三：由題意知直線l的斜率必存在，

設l：y－4＝k(x－2)，

由，得.

∴直線l與l₁、l₂的交點分別為，

.

∵M為中點，∴M.

又點M在直線x＋y－3＝0上，

∴＋－3＝0，解得k＝5.

故所求直線l的方程為y－4＝5(x－2)，

即5x－y－6＝0.