Question

設命題p：函數f（x）=lg（x²-4x+a²）的定義域為R；命題q：?m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立．如果命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據對數函數的定義域分析求解命題P為真命題時的條件；通過求

m2+8

，（m∈[-1，1]）的最大值，求出命題q為真命題時的條件，再根據復合命題真值表求解即可．

解答：解：命題P：△=16-4a²＜0⇒a＞2或a＜-2，
命題q：∵m∈[-1，1]，∴

m2+8

∈[2

2

，3]，
∵對m∈[-1，1]，不等式a2-5a-3≥

m2+8

恒成立，
只須滿足 a²-5a-3≥3，
∴a≥6或a≤-1．
故命題q為真命題時，a≥6或a≤-1，
∵命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，根據復合命題真值表，命題P與q一真一假
（1）若P真q假，則

a＞2或a＜-2 -1＜a＜6

⇒2＜a＜6．
（2）若P假q真，則

-2≤a≤2 a≤-1或a≥6

⇒-2≤a≤-1，
綜合（1）（2）得實數a的取值范圍為-2≤a≤-1或2＜a＜6．

點評：本題借助考查復合命題的真假判定，考查不等式的恒成立問題與對數函數的性質．