Question

設命題p：函數f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定義域為R；命題q：不等式3^x-9^x＜a對一切正實數x均成立．如果“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用對數函數的定義域是R求得p真，不等式3^x-9^x＜a對一切正實數x均成立，求出q真時x的范圍，再由真值表作出解答即可．

解答：解：∵命題p：函數f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定義域為R，
∴ax²-x+

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a＞0恒成立，⇒

a＞0 △=1-a2＜0

解得a＞1；
∵命題q：不等式3^x-9^x＜a對一切正實數x均成立，令g（x）=3^x-9^x，
∵g（x）=3^x-9^x=-（3^x-

1

2

）²+

1

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＜0，
∴a＞0．
∵“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，
∴命題p與命題q一真一假．
若p真q假，則a∈∅；
若p假q真，即，則0＜a≤1．
綜上所述，實數a的取值范圍：（0，1]．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，求得分別求得p真與q真時x的范圍是關鍵，突出考查函數恒成立問題，屬于中檔題．