Question

【題目】已知函數.

（1）若函數的定義域為，求實數的取值范圍；

（2）若函數的定義域為,且滿足如下兩個條件：①在內是單調遞增函數；②存在，使得在上的值域為,那么就稱函數為“希望函數”，若函數是“希望函數”，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由函數的定義域為，即恒成立，結合指數函數的性質，即可求解；

（2）根據題設得到函數在上的值域為，且函數是單調遞增函數，由對數函數的性質，得到，轉化為是的兩個根，結合二次函數的性質，即可求解.

（1）由題意，函數的定義域為，即恒成立，

所以恒成立，因為，所以，所以的取值范圍.

（2）因為函數是“希望函數”，

所以在上的值域為，且函數是單調遞增函數，

所以，即，所以是的兩個根，

設，

因為，所以有2個不等的正實數根，

所以且兩根之積等于，解得

所以實數的取值范圍是.