Question

【題目】如圖，已知橢圓：的離心率為，過左焦點且斜率為的直線交橢圓于兩點，線段的中點為，直線：交橢圓于兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：點在直線上；

（3）是否存在實數，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）存在，且

【解析】

（1）根據離心率和焦點坐標列方程組，解方程組求得的值，進而求得橢圓的方程.（2）寫出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，求得中點的坐標，將坐標代入直線的方程，滿足方程，由此證得點在直線上.（3）由（2）知到的距離相等，根據兩個三角形面積的關系，得到是的中點，設出點的坐標，聯立直線的方程和橢圓的方程，求得點的坐標，并由此求得的值.

解：(1) 解：由，解得，

所以所求橢圓的標準方程為

（2）設，，，

，消得，，

解得

將代入到中，滿足方程

所以點在直線上.

（3）由（2）知到的距離相等，

若的面積是面積的3倍，得，

有，

∴是的中點，

設，則，

聯立，解得，

于是

解得，所以.