Question

（文科）（1）若數(shù)列{a_n1}是數(shù)列{a_n}的子數(shù)列，試判斷n₁與l的大小關(guān)系；
（2）①在數(shù)列{a_n}中，已知{a_n}是一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列，a5=6．當(dāng)a₃=2時(shí)，若存在自然數(shù)n₁，n₂，…，n_l，…滿足5＜n₁＜n₂＜…＜n_l＜…且a₃，a₅，a₇，a₉…a_n…是等比數(shù)列，試用t表示n₁；
②若存在自然數(shù)n₁，n₂，…，n_l，…滿足5＜n₁＜n₂＜…＜n_l＜…且a₃，a₅，a₇，a₉…a_n…構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列．求證：當(dāng)a3是整數(shù)時(shí)，a₃必為12的正約數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列{a_n1}是數(shù)列{a_n}的子數(shù)列，判斷出n_t≥t
（2）①求出數(shù)列{a_n}的公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列a_n，求出數(shù)列{a_n1}的公比；利用ant是數(shù)列{a_n}的第n_t項(xiàng)求出值同時(shí)是數(shù)列{a_n1}的第t項(xiàng)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公t表示n₁式求出值，兩個(gè)方法求出的值相等，列出方程得到n_t=3^t+1+2．
②分別通過兩個(gè)數(shù)列表示出同一個(gè)項(xiàng)an1，列出關(guān)于a₃，n₁的方程，據(jù)各個(gè)數(shù)的特殊性，證出結(jié)論．

解答：解（1）∵數(shù)列{a_n1}是數(shù)列{a_n}的子數(shù)列
∴n_t≥t；
（2）①因?yàn)?span id="ysmga2e" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a3=2，a5=6，所以公差d=

a5-a3

5-3

=2，
從而n_t≥ta_n=a₅+（n-5）d=2n-4，
又a₃，a₅，a₇，a₉…a_n…是等比數(shù)列，
所以公比q=

a5

a3

=3
所以ant=a5•3t=2•3t+1
又ant=2nt-4
所以2n_t-4=2•3^t+1
所以n_t=3^t+1+2
②因?yàn)?span id="au0qmcg" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">n1＞5時(shí)，a3，a5，an1成等比數(shù)列，所以a3•an1=a52，即an1= 

a52

a3

=

36

a3

又{a_n}是等差數(shù)列，所以an1=a3+(n1-3)•

a5-a3

2

=a3+

6-a3

2

(n1-3)
所以

36

a3

=a3+

6-a3

2

(n1-3)即

36

a3

-a3=

6-a3

2

(n1-3)，
所以

36-a32

a3

=

6-a3

2

(n1-3)，因?yàn)?-a₃≠0
所以

6+a3

a3

=

n1-3

2

解得n1=5+

12

a3

．
因?yàn)閚₁是整數(shù)，且n₁＞5所以

12

a3

是正整數(shù)，從而整數(shù)a₃必為12的正約數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：在解決同一個(gè)項(xiàng)分別充當(dāng)兩個(gè)不同數(shù)列的項(xiàng)，關(guān)鍵是判斷出其分別是兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，然后利用不同的通項(xiàng)公式表示出其值，列出方程，找關(guān)系．