Question

已知雙曲線C的中心在坐標原點O，對稱軸為坐標軸，點（-2，0）是它的一個焦點，并且離心率為

2 3

3

．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知點M（0，1），設P（x₀，y₀）是雙曲線C上的點，Q是點P關于原點的對稱點，求

MP

•

MQ

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設雙曲線方程為

x2

a 2

-

y2

b 2

=1（a＞0，b＞0），依據題意，求出a、c、b的值，最后寫出雙曲線的標準方程和漸近線方程．
（Ⅱ）依題意有：Q（-x₀，-y₀），根據向量的坐標運算寫出

MP

=(x0，y0-1)，

MQ

=(-x0，-y0-1)從而

MP

•

MQ

=-x₀²-y₀²+1再結合雙曲線的范圍得出x₀²≥3，從而求得

MP

•

MQ

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設雙曲線方程為

x2

a 2

-

y2

b 2

=1（a＞0，b＞0），半焦距c，
依題意得　　

c a = 2 3 3 c=2

解得a=

3

，b=1，
∴所求雙曲線C的方程為

x2

3

-y2=1．
（Ⅱ）依題意有：Q（-x₀，-y₀），∴

MP

=(x0，y0-1)，

MQ

=(-x0，-y0-1)
∴

MP

•

MQ

=-x₀²-y₀²+1
，又

x 02

3

-y 02=1，

MP

•

MQ

=-

4

3

x

2 0

+2，由

x 02

3

-y 02=1可得，x₀²≥3，

MP

•

MQ

=-

4

3

x

2 0

+2≤-2故

MP

•

MQ

的取值范圍x≤-2．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用．解答的關鍵是對雙曲線標準方程的理解和向量運算的應用．