Question

在平面直角坐標系中，動點到兩點，的距離之和等于，設點的軌跡為曲線，直線過點且與曲線交于，兩點．
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）是否存在△面積的最大值，若存在，求出△的面積；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）（2）的最大值為．

解析試題分析：解.（Ⅰ）由橢圓定義可知，點的軌跡C是以，為焦點，長半軸長為 的橢圓．   3分
故曲線的方程為．                5分
（Ⅱ）存在△面積的最大值.                   6分
因為直線過點，可設直線的方程為 或（舍）．
則
整理得 ．            7分
由．
設．
解得 ，  ．
則 ．
因為
．       10分
設，，．
則在區間上為增函數．
所以．
所以，當且僅當時取等號，即．
所以的最大值為．
考點：直線與橢圓的位置關系
點評：解決的關鍵是根據直線與橢圓的聯立方程組，結合韋達定理來表示三角形的面積，進而結合函數的最值得到，屬于中檔題。