Question

已知橢圓C的方程為左、右焦點分別為F₁、F₂，焦距為4，點M是橢圓C上一點，滿足
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點P（0，2）分別作直線PA，PB交橢圓C于A，B兩點，設直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，，求證：直線AB過定點，并求出直線AB的斜率k的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）或.

解析試題分析：（Ⅰ）在 中,設,,由余弦定理得，
即，即，得.
又因為，，，
又因為所以，
所以所求橢圓的方程為.                    
（Ⅱ）顯然直線的斜率存在，設直線方程為，，
由得，即，
，，
由得，，又，，
則，，
，
那么，
則直線過定點.                
因為，，
，
，，
，所以或.  
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．此類題綜合性強，要求學生要有較高地轉化數學思想的運用能力，能將已知條件轉化到基本知識的運用