Question

已知數列{a_n}：

1

2

，

1

3

+

2

3

，

1

4

+

2

4

+

3

4

，…，

1

n+1

+

2

n+1

+…+

n

n+1

，…．設bn=

1

anan+2

，則數列{b_n}的前n項和為

3-

2

n+1

-

2

n+2

．

Answer 1

分析：先化簡a_n，然后可得b_n，拆項后利用裂項相消法可求得結果．

解答：解：∵a_n=

1

n+1

+

2

n+1

+…+

n

n+1

=

n(n+1) 2

n+1

=

n

2

，
∴b_n=

1

n 2 • n+2 2

=

4

n(n+2)

=2（

1

n

-

1

n+2

），
∴數列{b_n}的前n項和S_n=1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

=2（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=3-

2

n+1

-

2

n+2

故答案3-

2

n+1

-

2

n+2

．

點評：本題考查數列的求和問題，屬中檔題，裂項相消法對數列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．