Question

在一次數學考試中，有兩道選做題（A）和（B）．規定每位考生必須且只須在其中選做一題．設4名考生選做這兩題的可能性均為

1

2

．
（Ⅰ）其中甲、乙2名學生選做同一道題的概率；
（Ⅱ）設這4名考生中選做（B）題的學生數為ξ個，求的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（I）利用相互獨立事件的概率公式，即可求出甲、乙2名學生選做同一道題的概率；
（Ⅱ）確定ξ的取值，求出相應的概率，即可求出ξ的分布列及數學期望．

解答：解：（Ⅰ）設事件A表示“甲選做（A）題”，事件B表示“乙選做（A）題”，則甲、乙2名學生選做同一道題的事件為“AB+

.

A

.

B

”，且事件A、B相互獨立…..（2分）
∴P(AB+

.

A

.

B

)=P(A)P(B)+P(

.

A

)P(

.

B

)…..（4分）
=

1

2

×

1

2

+(1-

1

2

)×(1-

1

2

)=

1

2

…（6分）
（Ⅱ）隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4．且ξ～B(4，

1

2

)．
∴P(ξ=k)=

C

k 4

(

1

2

)k(1-

1

2

)4-k=

C

k 4

( 1 2 )4

(k=0，1，2，3，4)…．（8分）
所以變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	1 16	1 4	3 8	1 4	1 16

…．（10分）
Eξ=0×

1

16

+1×

1

4

+2×

3

8

+3×

1

4

+4×

1

16

=2或Eξ=np=4×

1

2

=2…..（12分）

點評：本題考查概率知識的運用，考查離散型隨機變量的分布列與期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．