Question

如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

y2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，左右兩個焦分別為F₁、F₂．過右焦點F₂且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足

PA

•

AB

=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義和簡單性質，求出a 和b²的值，即得橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設點P的坐標為（x，y），由

PA

•

AB

=m-4，求得 y=2x+m，求出點B關于P的軌跡的對稱點B′的坐標，并代入橢圓方程，解出 m值，即得點P的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得|MF₂|=

1

2

，由橢圓的定義得：|MF₁|+

1

2

=2a．
∵|MF1|²=4c²+

1

4

，∴(2a-

1

2

)2=4c²+

1

4

，又 e=

3

2

得 c2=

3

4

a2，
∴4a²-2a=3a²，∴a=2．
∴b²=a²-c²=

a2

4

=1，∴所求橢圓C的方程為 

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知點A（-2，0），點B為（0，-1），設點P的坐標為（x，y），
則

PA

=（-2-x，-y），

AB

=（2，-1），由

PA

•

AB

=m-4 得-4-2x+y=m-4，
∴點P的軌跡方程為 y=2x+m．
設點B關于P的軌跡的對稱點為B′（x₀，y₀），則由軸對稱的性質可得：

y0+1

x0

=-

1

2

，

y0-1

2

=2•

x0

2

+m，
解得：x₀=

-4-4m

5

，y₀=

2m-3

5

，∵B′（x₀，y₀） 在橢圓上，
∴(

-4-4m

5

)2+4(

2m-3

5

)2=4，整理得 2m²-m-3=0解得 m=-1或 m=

3

2

．
∴點P的軌跡方程為 y=2x-1或 y=2x+

3

2

，經檢驗  y=2x-1和 y=2x+

3

2

，都符合題設，
∴滿足條件的點P的軌跡方程為 y=2x-1，或 y=2x+

3

2

．

點評：本題考查橢圓的定義、標準方程和簡單性質，求點的軌跡方程的方法，利用橢圓的對稱性求出m值是解題的關鍵．