Question

【題目】設復平面上點Z1 ， Z2 ， …，Zn ， …分別對應復數z1 ， z2 ， …，zn ， …；
（1）設z=r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用數學歸納法證明：zn=rn（cosnα+isinnα），n∈Z+
（2）已知 ，且 （cosα+isinα）（α為實常數），求出數列{zn}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，求 |+…．

Answer 1

【答案】
（1）證明：當n=1時，左邊=r（cosθ+isinθ），右邊=r（cosθ+isinθ），

左邊=右邊，即n=1等式成立；

假設當n=k時等式成立，即：[r（cosθ+isinθ）]k=rk（coskθ+isinkθ），

則當n=k+1時，[r（cosθ+isinθ）]k+1=[r（cosθ+isinθ）]kr（cosθ+isinθ）

=rk（coskθ+isinkθ）rk（cosθ+isinθ）

=rk+1[（coskθcosθ﹣sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）]

=rk+1[cos（k+1）θ+isin（k+1）θ]，

即當n=k+1時，等式成立；

綜上，對n∈N+，zn=rn（cosnα+isinnα）

（2）解： = =1，

且 （cosα+isinα）（α為實常數），

∴數列{zn}是首項為Z1=1，公比為q= （cosα+isinα）的等比數列，

∴該數列的通項公式為Zn=Z1qn﹣1= [cos（n﹣1）α+isin（n﹣1）α]

（3）解：在（2）的條件下， = ﹣ =（ cosα﹣1， sinα）

∴| |= ．

= [cosnα﹣2cos（n﹣1）α+i（sinnα﹣2sin（n﹣1）α）]，

= = ．

|+…= × =

【解析】（1）按照數學歸納法的基本步驟即可證明等式成立；（2） = =1，且 （cosα+isinα）（α為實常數），可得數列{zn}是首項為Z1=1，公比為q= （cosα+isinα）的等比數列，利用等比數列的通項公式即可得出．（3）在（2）的條件下， = [cosnα﹣2cos（n﹣1）α+i（sinnα﹣2sin（n﹣1）α）]，再利用數列極限求和公式即可得出．