Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）四邊形的頂點在橢圓上，且對角線、過原點，若，求證；四邊形的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）通過離心率，可得與的關系；再利用點，得到與的關系；通過方程組求得橢圓方程；（2）假設直線方程，與橢圓方程聯立，通過根與系數關系可得和的關系；再結合橢圓的對稱性，將四邊形面積轉化為求解的面積。利用弦長公式和點到直線距離公式，將表示出來，整理為定值，從而可證得四邊形面積為定值。

由題意，，又

解得：，

橢圓的標準方程為

（2）①當直線斜率不存在時，設直線方程為

設，

又

②當直線斜率存在時，設直線的方程為

設，

聯立，得

……①

，

，即，

又

整理可得：

設原點到直線的距離為，則

綜上所述，四邊形面積為定值