Question

已知函數f(x)＝lnx＋x². (1)若函數g(x)＝f(x)－ax在定義域內為增函數，求實數a的取值范圍； (2)在(1)的條件下，若a>1，h(x)＝e^3x－3ae^x，x∈[0，ln2]，求h(x)的極小值； (3)設F(x)＝2f(x)－3x²－kx(k∈R)，若函數F(x)存在兩個零點m，n(0<m<n)，且滿足2x₀＝m＋n，問：函數F(x)在(x₀，F(x₀))處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程，若不能，請說明理由．

Answer 1

解：(1)g(x)＝f(x)－ax＝lnx＋x²－ax，g′(x)＝＋2x－a.

由題意，知g′(x)≥0對x∈(0，＋∞)恒成立，即a≤_min.

又x>0,2x＋≥2，當且僅當x＝時等號成立．

故_min＝2，所以a≤2.    ……3分

(2)由(1)知，1<a≤2.令e^x＝t，則t∈[1,2]，則h(x)＝H(t)＝t³－3at.

H′(t)＝3t²－3a＝3(t－)(t＋)．

由H′(t)＝0，得t＝或t＝－(舍去)，

∵a∈(1,2]，∴∈，

①若1<t≤，則H′(t)<0，H(t)單調遞減，h(x)在(0，ln]也單調遞減；

②若<t≤2，則H′(t)>0，H(t)單調遞增，h(x)在[ln，ln2]也單調遞增．

故h(x)的極小值為h(ln)＝－2a.  ……7分

(3)設F(x)在(x₀，F(x₀))處的切線平行于x軸，其中F(x)＝2lnx－x²－kx.

結合題意，有

①－②得2ln－(m＋n)(m－n)＝k(m－n)，所以k＝－2x₀.由④得k＝－2x₀，

所以ln＝＝.⑤

設u＝∈(0,1)，⑤式變為lnu－＝0(u∈(0,1))．

設y＝lnu－(u∈(0,1))，y′＝－＝＝>0，

所以函數y＝lnu－在(0,1)上單調遞增，因此，y<y|_u＝1＝0，即lnu－<0.

也就是，ln<，此式與⑤矛盾．

所以F(x)在(x₀，F(x₀))處的切線不能平行于x軸．