Question

已知函數(shù)f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，曲線y＝f(x)在x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，當(dāng)x＝時(shí)，y＝f(x)有極值．

(1)求a、b、c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1)由f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，得

f′(x)＝3x²＋2ax＋b.

當(dāng)x＝1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0.①

當(dāng)x＝時(shí)，y＝f(x)有極值，則f′＝0，

可得4a＋3b＋4＝0.②

由①、②解得a＝2，b＝－4.

由于l上的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝1，

∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4.

∴c＝5.

(2)由(1)可得f(x)＝x³＋2x²－4x＋5，

∴f′(x)＝3x²＋4x－4.

令f′(x)＝0，得x＝－2，或x＝.

x	[－3， －2)	－2
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	極大值	?	極小值	?

∴f(x)在x＝－2處取得極大值f(－2)＝13.

在x＝處取得極小值f＝.

又f(－3)＝8，f(1)＝4.

∴f(x)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為.   

【解析】略