Question

已知橢圓的右準線，離心率，，是橢圓上的兩動點，動點滿足，（其中為常數）．
（1）求橢圓標準方程；
（2）當且直線與斜率均存在時，求的最小值；
（3）若是線段的中點，且，問是否存在常數和平面內兩定點，，使得動點滿足，若存在,求出的值和定點，;若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）;（2）;（3）,

試題分析：（1）根據題意由已知可得：，進而求出基本量，得到橢圓方程; ;（2）由題中，可得中點與原點的斜率即為,即可化簡得：，結合基本不等式求最值，即由得;（3）由（2）中已求出，即，可化簡得：，再結合條件，代入化簡可得： ，最后由點在橢圓上可得： ，即，化簡即P點是橢圓上的點，利用橢圓知識求出左、右焦點為．
（I）由題設可知：∴．又，∴．
橢圓標準方程為．                              5分
（2）設則由得．
∴ ． 
由得當且僅當時取等號       10分
（3）．
∴．∴．                      11分
設，則由得  ，
即 y₂. 因為點A、B在橢圓上，
所以 ．
所以. 即，所以P點是橢圓上的點，
設該橢圓的左、右焦點為，，則由橢圓的定義得18，,                          16分