Question

【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC是直角三角形,且PA=AB=AC.又平面QBC垂直于底面ABC.

(1)求證:PA∥平面QBC;

(2)若PQ⊥平面QBC,求銳二面角Q-PB-A的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）過點Q作QD⊥BC交BC于點D,則QD⊥平面ABC，而PA⊥平面ABC，可得QD∥PA，從而問題得證。

（2）建立空間直角坐標系，找出二面角Q-PB-A所在的兩個平面的法向量，求出法向量夾角的余弦值，結合角的范圍，得出最終結果。

(1)證明過點Q作QD⊥BC交BC于點D,

因為平面QBC⊥平面ABC,

所以QD⊥平面ABC.

又PA⊥平面ABC,

所以QD∥PA.

而QD平面QBC,PA平面QBC,

所以PA∥平面QBC.

(2)解因為PQ⊥平面QBC,

所以∠PQB=∠PQC=90°.

又PB=PC,PQ=PQ,

所以△PQB≌△PQC,

所以BQ=CQ.

所以點D是BC的中點,連接AD,則AD⊥BC,因此AD⊥平面QBC,故四邊形PADQ是矩形.

分別以AC,AB,AP所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.

設PA=2a,則Q(a,a,2a),B(0,2a,0),P(0,0,2a).

設平面QPB的法向量為n=(x,y,z),

因為=(a,a,0),=(0,2a,-2a),

所以

取n=(1,-1,-1).

又平面PAB的一個法向量為m==(1,0,0),

設銳二面角Q-PB-A的大小為θ,

則cos θ=|cos<m,n>|=,

即銳二面角Q-PB-A的余弦值等于.