Question

【題目】設a∈Z，已知定義在R上的函數f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在區間（1，2）內有一個零點x0 ， g（x）為f（x）的導函數．
（Ⅰ）求g（x）的單調區間；
（Ⅱ）設m∈[1，x0）∪（x0 ， 2]，函數h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求證：h（m）h（x0）＜0；
（Ⅲ）求證：存在大于0的常數A，使得對于任意的正整數p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0 ， 2]，滿足| ﹣x0|≥ ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，
進而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x= ．
當x變化時，g′（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣1）	（﹣1， ）	（ ，+∞）
g′（x）	+	﹣	+
g（x）	↗	↘	↗

所以，g（x）的單調遞增區間是（﹣∞，﹣1），（ ，+∞），單調遞減區間是（﹣1， ）．
（Ⅱ）證明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），
h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．
令函數H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），則H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．
由（Ⅰ）知，當x∈[1，2]時，g′（x）＞0，
故當x∈[1，x0）時，H′1（x）＜0，H1（x）單調遞減；
當x∈（x0 ， 2]時，H′1（x）＞0，H1（x）單調遞增．
因此，當x∈[1，x0）∪（x0 ， 2]時，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，
令函數H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），則H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上單調遞增，故當x∈[1，x0）時，H′2（x）＞0，H2（x）單調遞增；當x∈（x0 ， 2]時，H′2（x）＜0，H2（x）單調遞減．因此，當x∈[1，x0）∪（x0 ， 2]時，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．
所以，h（m）h（x0）＜0．
（Ⅲ）對于任意的正整數p，q，且 ，
令m= ，函數h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．
由（Ⅱ）知，當m∈[1，x0）時，h（x）在區間（m，x0）內有零點；
當m∈（x0 ， 2]時，h（x）在區間（x0 ， m）內有零點．
所以h（x）在（1，2）內至少有一個零點，不妨設為x1 ， 則h（x1）=g（x1）（ ﹣x0）﹣f（ ）=0．
由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上單調遞增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），
于是| ﹣x0|= ≥ = ．
因為當x∈[1，2]時，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上單調遞增，
所以f（x）在區間[1，2]上除x0外沒有其他的零點，而 ≠x0 ， 故f（ ）≠0．
又因為p，q，a均為整數，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整數，
從而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．
所以| ﹣x0|≥ ．所以，只要取A=g（2），就有| ﹣x0|≥ ．
【解析】（Ⅰ）求出函數的導函數g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出極值點，通過列表判斷函數的單調性求出單調區間即可．
（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），
令函數H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出導函數H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．
（Ⅲ）對于任意的正整數p，q，且 ，令m= ，函數h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．
由（Ⅱ）知，當m∈[1，x0）時，當m∈（x0 ， 2]時，通過h（x）的零點．轉化推出| ﹣x0|= ≥ = ．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出結果．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．