Question

（12分） 已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線與相交于、兩點，當的斜率為1時，坐標原點到的距離為
（I）求，的值；
（II）上是否存在點P，使得當繞F轉到某一位置時，有成立？
若存在，求出所有的P的坐標與的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

解:(I）設，直線，由坐標原點到的距離為
則，解得.又.
（II）由(I）知橢圓的方程為.設、
由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設
代入橢圓的方程中整理得，顯然。
由韋達定理有：．．．．．．．．①
.假設存在點P，使成立，則其充要條件為：
點，點P在橢圓上，即。
整理得。
又在橢圓上，即.
故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
將及①代入②解得
,=,即.
當;
當.

略