Question

（2011•丹東模擬）選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是的中點，BD交AC于E．
（Ⅰ）求證：CD²=DE•DB；
（Ⅱ）若CD=2

3

，O到AC的距離為1，求⊙O的半徑r．

Answer 1

分析：（I）證明△BCD∽△CED，利用相似三角形的性質，可得結論；      
（II）根據D是弧AC的中點，可得OD⊥AC，設垂足為F，在直角△CFD中，利用DC²=CF²+DF²，建立方程，即可求得⊙O的半徑．

解答：（I）證明：連接OD，OC，由已知D是弧AC的中點，可得∠ABD=∠CBD
∵∠ABD=∠ECD，∴∠CBD=∠ECD
∵∠BDC=∠EDC，∴△BCD∽△CED
∴

DE

DC

=

DC

DB

，
∴CD²=DE•DB；        
（II）解：∵D是弧AC的中點
∴OD⊥AC，設垂足為F
在直角△CFO中，OF=1，OC=r，CF=r²-1
在直角△CFD中，DC²=CF²+DF²
∴（2

3

）²=（r²-1）+（r-1）²
∴r²-r-6=0
∴（r-3）（r+2）=0
∴r=3

點評：本題考查幾何證明選講，考查三角形的相似與圓的性質，屬于基礎題．