Question

（2011•丹東模擬）選修4-5：不等式選講
設正有理數x是

3

的一個近似值，令y=1+

2

1+x

．
（Ⅰ）若x＞

3

，求證：y＜

3

；
（Ⅱ）求證：y比x更接近于

3

．

Answer 1

分析：（I）利用作差法，比較y-

3

與0的大小關系，即可得到結論；
（II）利用作差法，比較|y-

3

|-|x-

3

|與0的大小關系，即可得到結論．

解答：證明：（I）y-

3

=1+

2

1+x

-

3

=

(1- 3 )(x- 3 )

1+x

∵x＞

3

，∴x-

3

＞0，而1-

3

＜0，
∴y＜

3

；                             …（5分）
（II）∵|y-

3

|-|x-

3

|=|

(1- 3 )(x- 3 )

1+x

|-|x-

3

|=|x-

3

|×

3 -2-x

1+x

，
∵x＞0，

3

-2＜0，|x-

3

|＞0，
∴|y-

3

|-|x-

3

|＜0，即|y-

3

|＜|x-

3

|，
∴y比x更接近于

3

           …（10分）

點評：本題考查不等式的證明，解題的關鍵是利用作差法，確定差的符號時關鍵．