Question

設n是正整數，如果1，2，3，…，2n的一個排列x₁，x₂，x₃，…，x_2n滿足：在{1，2，…2^n-1}中至少有一個i使得|x_i-x_i+1|=n，則稱排列x₁，x₂，x₃，…，x_2n具有性質P．
（Ⅰ）當n=2時，寫出4個具有性質P的排列；
（Ⅱ）求n=3時不具有性質P的排列的個數；
（Ⅲ）求證：對于任意n，具有性質P的排列比不具有性質P的排列多．

Answer 1

分析：（I）根據x₁，x₂，x₃，…，x_2n具有性質P定義，可得n=2時，只要1，3或2，4相鄰即可；
（II）當n=3時，1，2，3，4，5，6的全排列數為

A

6 6

； 1，4；2，5；3，6三對數中，至少有一對相鄰的排列數為

C

1 3

A

2 2

A

5 5

；至少有兩對相鄰

C

2 3

A

2 2

A 2 2 A

4 4

；三對全相鄰

A

3 3

A

2 2

A 2 2 A

2 2

，相減可得答案．
（III）記A={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）具有性質P}，B={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）不具有性質P}，C={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|恰有某一個i使得|x_i-x_i+1|=n，i≠1}，分析A中元素與B中元素個數的關系，可得答案．

解答：解：（I）當n=2時，具有性質P的排列有：
（2，1，3，4）；（2，3，1，4）；（4，1，3，2），（4，3，1，2）
（II）當n=3時，1，2，3，4，5，6的全排列數為

A

6 6

； 1，4；2，5；3，6三對數中，至少有一對相鄰的排列數為

C

1 3

A

2 2

A

5 5

；至少有兩對相鄰

C

2 3

A

2 2

A 2 2 A

4 4

；三對全相鄰

A

3 3

A

2 2

A 2 2 A

2 2

所以，n=3時不具有性質P的排列的個數共有：

A

6 6

-

C

1 3

A

2 2

A

5 5

-

C

2 3

A

2 2

A 2 2 A

4 4

-

A

3 3

A

2 2

A 2 2 A

2 2

=240；
證明：（III）記A={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）具有性質P}
B={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）不具有性質P}
C={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|恰有某一個i使得|x_i-x_i+1|=n，i≠1}
顯然C是A的子集，而且（n+1，1，2，…，n，n+2，…，2n）∈A，（n+1，1，2，…，n，n+2，…，2n）∉C，
所以C是A的真子集，所以A中元素個數大于C中元素個數；
考慮B中任一元素（y₁，y₂，y₃，…，y_2n），則|y₂-y₁|≠n，因此與y₁相差n的數一定是某個y_k，（k＞2）
把y₁放到y_k的左邊得到一個新排列（y₂，y₃，…，y_k-1，y₁，y_k，…，y_2n），這個排列一定是C的元素，
作映射（y₁，y₂，y₃，…，y_2n），→（y₂，y₃，…，y_k-1，y₁，y_k，…，y_2n），
不難證明這是一一對應，所以C中元素個數等于B中元素個數
綜上A中元素個數大于B中元素個數
即對于任意n，具有性質P的排列比不具有性質P的排列多

點評：本題考查的知識點是排列，組合，正確理解新定義x₁，x₂，x₃，…，x_2n具有性質P的含義，是解答的關鍵．