Question

【題目】如圖，在直角梯形中， ， ， ， ， 是的中點， 是與的交點，將沿折起到的位置，如圖2．

圖1 圖2

（1）證明： 平面；

（2）若平面平面，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先證平面，又，得平面；（2）由已知得為二面角的平面角，如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，平面的法向量，面與面夾角為，由，即得平面與平面夾角的余弦值.

試題解析：（1）在圖1中，

因為， ， 是的中點， ，所以

即在圖2中， ，

從而平面

又，所以平面．

圖1 圖2

(2)由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知， ，

所以為二面角的平面角，所以．

如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，

因為，

所以， ， ， ，

得， ， ．

設平面的法向量，平面的法向量，二面角為，

則，得，取，

，得，取，

從而，由圖可知為鈍角．

即二面角的余弦值為．

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理及面面垂直的性質，利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.