Question

已知x²+4y²+kz²=36，（其中k＞0）且t=x+y+z的最大值是7，則 k=

 

．

Answer 1

分析：分析題目已知x²+4y²+kz²=36，求x+y+z的最大值．考慮到應用柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²），首先構造出柯西不等式求出（x+y+z）²的最大值，開平方根即可關于k的方程，從而得到答案．

解答：解：因為已知x²+4y²+kz²=36根據柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）構造得：
即（x+y+z）²≤（x²+4y²+kz²）（1²+（

1

2

）²+(

1

k

)²）=36×[1²+（

1

2

）²+(

1

k

)²]=49．
故k=9．
故答案為：9．

點評：此題主要考查柯西不等式的應用問題，對于此類題目有很多解法，但大多數比較繁瑣，而用柯西不等式求解非常簡練，需要同學們注意掌握．