Question

（2013•浙江模擬）已知正實數x，y滿足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x²+4y²恒成立，則k的最大值是

2

．

Answer 1

分析：由題意可得xy=1，k應小于或等于

x2+4y2

x+2y

的最小值．令 x+2y=t，可得 t≥2

2

，且

x2+4y2

x+2y

=t-

4

t

，故k應小于或等于t-

4

t

的最小值．根據函數 t-

4

t

在[2

2

，+∞） 上是增函數，求得t-

4

t

取得最小值，即可得到k的最大值．

解答：解：∵已知正實數x，y滿足lnx+lny=0，∴xy=1．∵k（x+2y）≤x²+4y²恒成立，∴k≤

x2+4y2

x+2y

，
故k應小于或等于

x2+4y2

x+2y

的最小值．
令 x+2y=t，則由基本不等式可得 t≥2

2

，當且僅當 x=2y 時，取等號，故t∈[2

2

，+∞）．
故

x2+4y2

x+2y

=

t2-4

t

=t-

4

t

，故k應小于或等于t-

4

t

的最小值．
由于函數 t-

4

t

在[2

2

，+∞） 上是增函數，故當t=2

2

時，t-

4

t

取得最小值為

2

，
故k的最大值是

2

，
故答案為

2

．

點評：本題主要考查函數的恒成立問題，基本不等式的應用，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．