Question

已知數列{a_n}滿足a₁＞0，a_n＋1＝2－|a_n|，n∈N^*．
（1）若a₁，a₂，a₃成等比數列，求a₁的值；
（2）是否存在a₁，使數列{a_n}為等差數列？若存在，求出所有這樣的a₁；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）或（2）

解析試題分析：（1）首先利用遞推公式把都用表示，再根據成等比數列，列方程解出的值，注意根據絕對值的定義要對的取值范圍分類計論.
（2）對于這類開放性問題，處理的策略就是先假設存在a₁，使數列{a_n}為等差數列，與（1）類似，根據成等差數列，有，從面得到關于的方程，方程若有解則存在，否則可認為不存在a₁，使數列{a_n}為等差數列.
試題解析：（1）∵a₁＞0，∴a₂＝2－|a₁|＝2－a₁，a₃＝2－|a₂|＝2－|2－a₁|．
當0＜a₁≤2時，a₃＝2－(2－a₁)＝a₁，∴a₁²＝(2－a₁)²，解得a₁＝1．
當a₁＞2時，a₃＝2－(a₁－2)＝4－a₁，∴a₁(4－a₁)＝(2－a₁)²，解得a₁＝2－（舍去）或a₁＝2＋．
綜上可得a₁＝1或a₁＝2＋．                    6分
（2）假設這樣的等差數列存在，則
由2a₂＝a₁＋a₃，得2(2－a₁)＝a₁＋(2－|2－a₁|)，即|2－a₁|＝3a₁－2．
當a₁＞2時，a₁－2＝3a₁－2，解得a₁＝0，與a₁＞2矛盾；
當0＜a₁≤2時，2－a₁＝3a₁－2，解得a₁＝1，從而a_n＝1（n∈N^*），此時{a_n}是一個等差數列；
綜上可知，當且僅當a₁＝1時，數列{a_n}為等差數列．         12分
考點：1、等差數列、等比數列的定義；2、分類討論的思想.