Question

【題目】已知F為橢圓C：的左焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則四邊形ADBE的面積最小值為（ ）

A.4B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

先計(jì)算直線斜率為0時(shí)或直線斜率為0時(shí)對(duì)應(yīng)的四邊形的面積，再設(shè)斜率為k，利用弦長公式計(jì)算，，得出四邊形的面積關(guān)于k的函數(shù)，利用換元法求出面積的最小值從而得出結(jié)論．

橢圓的左焦點(diǎn)為．

（1）當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線的方程為，

或當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線的方程為，

把代入橢圓方程得，

四邊形ADBE的面積為．

（2）當(dāng)直線有斜率且斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，直線的方程為．

聯(lián)立方程組，消元得：，

設(shè)，，則，，

，

用替換k可得，

四邊形ADBE的面積為，

令，則，

當(dāng)即時(shí)，S取得最小值．

綜上，四邊形ABDE的面積的最小值為．

故選：C．