Question

點E、F、G分別是正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、B₁C₁的中點，如圖所示，則下列命題中的真命題是________(寫出所有真命題的編號)．

①以正方體的頂點為頂點的三棱錐的四個面中最多只有三個面是直角三角形；
②過點F、D₁、G的截面是正方形；
③點P在直線FG上運動時，總有AP⊥DE；
④點Q在直線BC₁上運動時，三棱錐A－D₁QC的體積是定值；
⑤點M是正方體的平面A₁B₁C₁D₁內的到點D和C₁距離相等的點，則點M的軌跡是一條線段．

Answer 1

③④⑤

對于①，三棱錐A－BCC₁的四個面都是直角三角形，故①為假命題；對于②，截面為矩形FGD₁D，易知其邊長不等，故②為假命題；③易證DE⊥平面AFG，又AP?平面AFG，故DE⊥AP，故③為真命題；④由于BC₁∥平面ACD₁，故三棱錐Q－ACD₁的高為定值，即點Q到平面ACD₁的距離為定值，而底面積S△ACD₁也為定值，故三棱錐體積為定值，故④為真命題；⑤到D、C₁距離相等的點的軌跡為平面A₁BCD₁(中垂面)，又點M在平面A₁B₁C₁D₁中，故點M的軌跡為線段A₁D₁，故⑤為真命題．