Question

如圖所示，已知橢圓C的離心率為

3

2

，A、B、F分別為橢圓的右頂點、上頂點、右焦點，且S△ABF=1-

3

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+m被圓O：x²+y²=4所截弦長為2

3

，若直線l與橢圓C交于M、N兩點．求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓方程，利用橢圓C的離心率為

3

2

，S△ABF=1-

3

2

，建立方程，聯立，即可求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+m被圓O：x²+y²=4所截弦長為2

3

，確定m，k的關系，直線代入橢圓方程，表示出面積，換元，利用配方法，即可確定結論．

解答：解：（1）設方程為C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則A（a，0），B（0，b），
F（c，0）
∵橢圓C的離心率為

3

2

，
∴

a2-b2

a2

=

3

4

∴a=2b，∴c=

3

b①
∵S△ABF=

1

2

(a-c)b=1-

3

2

②
∴聯立①②，解得b=1，c=

3

∴a=2，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）圓O的圓心為坐標原點，半徑為2，
∵直線l：y=kx+m被圓O：x²+y²=4所截弦長為2

3

，
∴

|m|

1+k2

=1
∴m²=1+k²③
直線l代入橢圓方程，可得（

1

4

+k2）x²+2kmx+m²-1=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-8km

4k2+1

，x1x2=

4m2-4

4k2+1

∴|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=

16(4k2-m2+1)

(4k2+1)2

④
③代入④可得|x1-x2|2=

48k2

(4k2+1)

，∴|x₁-x₂|=

4 3 |k|

4k2+1

∴|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

4 3k2(k2+1)

4k2+1

∴S△OMN=

1

2

|MN|d=

2 3k2(k2+1)

4k2+1

令t=4k²+1≥1，則k2=

t-1

4

代入上式的，S=

3

2

•

-3( 1 t - 1 3 )2+ 4 3

∴t=3，即4k²+1=3，解得k=±

2

2

時，S取得最大值為1．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．