Question

如圖所示，已知橢圓C：x2+

y2

a2

=1（a＞1）的離心率為e，點F為其下焦點，點A為其上頂點，過F的直線l：y=mx-c（其中c=

a2-1

與橢圓C相交于P，Q兩點，且滿足

AP

•

AQ

=

a2(a+c)2-1

2-c2

．
（1）試用a表示m²；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（

1

3

，

1

2

），求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，及向量的數量積公式，即可得出結論；
（2）利用（1）的結論，可得a²≥3c²，從而可得e的最大值；
（3）若e∈（

1

3

，

1

2

），可得

9

8

＜a2＜

4

3

，從而可求m的取值范圍．

解答：解：（1）直線方程與橢圓方程聯立，可得（a²+m²）x²-2mcx-1=0
設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2mc

a2+m2

，x₁x₂=

-1

a2+m2

∴y₁+y₂=m（x₁+x₂）-2c=

-2a2c

a2+m2

，y₁y₂=

a2(c2-m2)

a2+m2

∵A（0，a），∴

AP

=（x₁，y₁-a），

AQ

=（x₂，y₂-a）
∴

AP

•

AQ

=x₁x₂+（y₁-a）（y₂-a）=

a2(a+c)2-1

2-c2

∴a²+m²=2-c²=2-（a²-1）
∴m²=3-2a²；
（2）由（1）知，m²=3-2a²≥0
∴3（a²-c²）-2a²≥0
∴a²≥3c²
∴e2≤

1

3

∴e的最大值為

3

3

；
（3）∵e∈（

1

3

，

1

2

），
∴e2∈(

1

9

，

1

4

)
∴

1

9

＜

a2-1

a2

＜

1

4

∴

9

8

＜a2＜

4

3

∴

1

3

＜m2＜

3

4

∴m的取值范圍為(-

3

2

，-

3

3

)∪(

3

3

，

3

2

)．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查橢圓的幾何性質，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．