Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均為實數），滿足f（-1）=0，對于任意實數x都有f（x）≥x，并且當x∈（0，2）時，f（x）≤

(x+1)2

4

，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由已知條件求得f（1）=1，結合f（-1）=0求得b=

1

2

，a+c=

1

2

，再由對于任意實數x都有f（x）≥x得到
ax²+（b-1）x+c≥0，即a＞0且（b-1）²-4ac≤0，把 b=

1

2

，a+c=

1

2

代入求得a，c的值，則函數解析式可求．

解答： 解：當x=1時，由 f（1）-1≥0，且f（1）≤

(1+1)2

4

=1，∴f（1）=1．
由f（-1）=0可得a-b+c=0，
而f（1）=1，∴a+b+c=1，解得b=

1

2

，a+c=

1

2

．
又f（x）-x≥0，∴ax²+bx+c-x≥0，化簡得 ax²+（b-1）x+c≥0，
∴a＞0且（b-1）²-4ac≤0，把 b=

1

2

，a+c=

1

2

代入化簡可得(a-

1

4

)2≤0，
∴a=

1

4

，c=

1

4

．
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．

點評：本題考查了二次函數的性質，考查了函數解析式的求解及判斷方法，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．