Question

【題目】已知函數f(x)＝2x－的定義域為(0，1](a為實數).

(1)當a＝1時，求函數y＝f(x)的值域；

(2)求函數y＝f(x)在區間(0，1]上的最大值及最小值，并求出當函數f(x)取得最值時x的值.

Answer 1

【答案】(1) (－∞，1]. (2)見解析

【解析】試題分析：（1）將a的值代入函數解析式，利用定義證明函數的單調性，從而求出函數的值域；

（2）通過對a的討論，判斷出函數在（0，1]上的單調性，求出函數的最值．

試題解析：

(1)當a＝1時，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，

則f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－＝(x1－x2).

∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.

∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上單調遞增，無最小值，當x＝1時取得最大值1，所以f(x)的值域為(－∞，1].

(2)當a≥0時，y＝f(x)在(0，1]上單調遞增，無最小值，當x＝1時取得最大值2－a；

當a＜0時，f(x)＝2x＋，

當≥1，即a∈(－∞，－2]時，y＝f(x)在(0，1]上單調遞減，無最大值，當x＝1時取得最小值2－a；

當＜1，即a∈(－2，0)時，y＝f(x)在上單調遞減，在

上單調遞增，無最大值，當x＝時取得最小值2.