Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數在區間內有且只有一個極值點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據題意，討論的范圍，令求出增區間，令求出減區間。

（2）由題意可知，在上有解，討論的范圍，判斷的單調性和零點個數，得出結論。

（1）函數的定義域為．，

①當即時，

因為時，，

所以的單調增區間為．

②當，即時，令，得．

當時，；當時，；

所以的單調增區間為，減區間為．

綜上，當時，的單調增區間為；

當時，的單調增區間為，

減區間為．

（2）因為，

所以．

令，．

若函數在區間內有且只有一個極值點，

則函數在區間內存在零點．

又，所以在內有唯一零點．

且時，；時，．

則在內為減函數，在內為增函數．

又因為且在內存在零點，

所以解得．

顯然在內有唯一零點，記為．

當時，，時，，所以在點兩側異號，即在點兩側異號，為函數在區間內唯一極值點．

當時，，又，在內成立，

所以在內單調遞增，故無極值點．

當時，，，易得時，，故無極值點．

所以當且僅當時，函數在區間內有且只有一個極值點．