Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4．AB=2，AN⊥PC于點N，M是PD中點．
（1）用空間向量證明：AM⊥MC，平面ABM⊥平面PCD．
（2）求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值．
（3）求點N到平面ACM的距離．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，利用向量坐標運算證明即可．
（2）求出平面的法向量，利用向量數量積運算公式，求解．
（3）根據AN⊥PC，利用射影定理求出

NC

PC

，再利用公式求出P的平面的距離，然后求N到平面的距離．

解答：解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）

CM

=（-2，-2，2），

AM

=（0，2，2），
∵

CM

•

AM

=-4+4=0，∴CM⊥AM
∵PA=AD，M為PD的中點，∴AM⊥PD
∴AM⊥平面PCD，AM?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD
（2）設

n

=（x，y，z）是平面ACM的法向量，則

2y+2z=0 -2x-2y+2z=0

，令z=-1，得

n

=（-2，1，-1）

CD

=（-2，0，0）
設直線CD與平面ACM所成角為α，則sinα=

n • CD

| n || CD |

=

6

3

．
（3）∵AN⊥NC．在Rt△PAC中，PA²=PN×PC，PC=6，∴PN=

8

3

，則NC=PC-PN=

10

3

，

NC

PC

=

5

9

，∴所求距離等于點P到平面ACM距離的

5

9

，
設點P到平面ACM距離為h，則h=|

AP • n

| n |

|=

4

6

=

2 6

3

，
∴點N到平面ACM的距離為

10 6

27

．

點評：本題考查利用向量法求空間角、空間距離問題．利用向量求直線與平面所成的角及點到平面的距離關鍵是求得平面的法向量．