Question

①命題“對任意的x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“存在x∈R，x³-x²+1＞0”；
②函數f（x）=2^x-x²的零點有2個；
③若函數f（x）=x²-|x+a|為偶函數，則實數a=0；
④函數y=sinx（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=

∫

x -x

sinxdx；
⑤若函數f（x）=

ax-5(x＞6) (4- a 2 )x+4(x≤6)

，在R上是單調遞增函數，則實數a的取值范圍為（1，8）．
其中真命題的序號是

①③

（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

分析：①根據含有量詞的命題的否定進行判斷．②利用根的存在性定理進行判斷．③根據函數奇偶性的定義進行判斷．④根據積分的應用求面積．⑤根據分段函數的單調性進行判斷．

解答：解：①根據全稱命題的否定是特稱命題可知，命題“對任意的x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“存在x∈R，x³-x²+1＞0”，∴①正確．
②由f（x）=2^x-x²=0，得2^x=x²，由函數y=2^x和y=x²的圖象可知，函數存在3個零點，∴②錯誤．
③若函數f（x）=x²-|x+a|為偶函數，則f（-x）=f（x），即|-x+a|=|x+a|，解得a=0，∴③正確．
④根據積分的應用可知，函數y=sinx（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=

∫

x -x

|sinx|dx，∴④錯誤．
⑤要使函數f（x）單調遞增，則滿足

a＞1 4- a 2 ＞0 a≥(4- a 2 )×6+4

，即

a＞1 a＜8 4a≥20

，解得5≤a＜8，∴⑤錯誤．
故答案為：①③．

點評：本題主要考查函數性質的綜合應用，涉及的知識點較多，綜合性較強．