Question

如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC₁上中點，F是AB中點，AC = 1，BC = 2，AA₁ = 4.

（1）求證：CF∥平面AEB₁；（2）求三棱錐C－AB₁E的體積.

Answer 1

（1）詳見試題解析;（2）

試題分析：（1）根據直線平行平面的判定定理，需要在平面AEB₁內找一條與CF平行的直線.根據題設，可取的中點，通過證明四邊形是平行四邊形來證明，從而使問題得證.
（2）由題易得面，即面，就是三棱錐的高
所以求三棱錐的體積可轉化為求三棱錐的體積.
試題解析：（1）證明：取的中點，聯結
∵分別是棱、的中點，
∴
又∵
∴四邊形是平行四邊形，
∴
∵平面，平面
∴平面
（2）解： 因為底面，所以底面，
又 ，所以 
所以面，即面
所以點到平面的距離為 
又因為平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，即為2
所以.