Question

【題目】設(shè)，

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；

（Ⅱ）討論與的大小關(guān)系；

（Ⅲ）求的取值范圍，使得對(duì)任意成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，最小值為；（II）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ；（III）.

【解析】試題分析：（I）求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可求得結(jié)果；（Ⅱ）通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，比較兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系即可；（Ⅲ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化不等式，求解即可．

試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)知、，∴，令，得

當(dāng)時(shí)， ，故是的單調(diào)減區(qū)間．

當(dāng)時(shí)， ，故是的單調(diào)遞增區(qū)間，因此，

是的唯一值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為.

（Ⅱ）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)， 即，當(dāng)，時(shí)，因此在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， 即．當(dāng)時(shí)， 即

（Ⅲ）由（Ⅰ）知的最小值為，所以， ，對(duì)任意，成立，即，從而得．