Question

【題目】已知拋物線C的一個焦點為，對應于這個焦點的準線方程為

（1）寫出拋物線C的方程；

（2）過F點的直線與曲線C交于A、B兩點，O點為坐標原點，求△AOB重心G的軌跡方程；

（3）點P是拋物線C上的動點，過點P作圓的切線，切點分別是M，N.當P點在何處時，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線方程為： ；（2） ；（3）P（2，±2），|MN|取最小值.

【解析】試題分析：

(1)由直線方程可得拋物線方程為；

(2)利用重心坐標公式消去參數可得軌跡方程為： ；

(3)利用圓的性質結合題意可得滿足題意時點P的坐標為P（2，±2），且|MN|取最小值.

試題解析：

（1）拋物線方程為： .

（2）①當直線不垂直于x軸時，設方程為，代入，

得：

設，則， 設△AOB的重心為則，

消去k得為所求，

②當直線垂直于x軸時，

△AOB的重心也滿足上述方程.

綜合①②得，所求的軌跡方程為

（3）設已知圓的圓心為Q（3，0），半徑，

根據圓的性質有： 當|PQ|2最小時，|MN|取最小值，

設P點坐標為，則

∴當， 時， 取最小值5，

故當P點坐標為（2，±2）時，|MN|取最小值.