Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2ccosA+a=2b．
（1）求角C的值；
（2）若a+b=4，當c取最小值時，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：∵2ccosA+a=2b，

∴2sinCcosA+sinA=2sinB，

∵A+B+C=π，

∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），

即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，

∴sinA=2sinAcosC，

∵sinA≠0，∴cosC= ，

又∵C是三角形的內角，∴C= ．

方法二：∵2ccosA+a=2b，

∴ ，

∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即 c2=a2+b2﹣ab，

∴ ，

又∵C是三角形的內角，∴c= ．

（2）解：方法一：由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，

∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，

∴ （當且僅當a=b=2時等號成立），

∴c的最小值為2，故 ．

方法二：由已知，a+b=4，即b=4﹣a，

由余弦定理得，c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，

∴c2=16﹣3a（4﹣a）=3（a﹣2）2+4,

∴當a=2時，c的最小值為2，故 ．

【解析】方法一：（1）利用正弦定理、誘導公式、兩角和的正弦公式化簡已知的式子，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出角C；（2）利用余弦定理列出方程，由條件和完全平方公式化簡后，利用基本不等式求出c的最小值，由面積公式求出△ABC的面積；方法二：（1）利用余弦定理化簡已知的式子得到邊的關系，由余弦定理求出cosC的值，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出角C；（2）利用余弦定理列出方程，結合條件消元后，利用一元二次函數的性質求出c的最小值，由面積公式求出△ABC的面積．
【考點精析】掌握正弦定理的定義和余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．