Question

已知實數a，b，c，d滿足a+b+c+d=3，a²+2b²+4c²+4d²=5則a的最大值為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．.4

Answer 1

分析：根據柯西不等式當n=3時的不等式：（x12+x22+x32）（y12+y22+y32）≥（x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃）²，得到（2b²+4c²+4d²）（

1

2

+

1

4

+

1

4

）≥（b+c+d）²．從而得到關于a不等式：5-a²≥（3-a）²，解之得1≤a≤2，最后根據柯西不等式取等號的條件，找到當b=

1

2

，c=d=

1

4

時，a有最大值2．

解答：解：根據柯西不等式，得（2b²+4c²+4d²）（

1

2

+

1

4

+

1

4

）≥（b+c+d）²
當且僅當2b=4c=4d時，等號成立
∵a+b+c+d=3，a²+2b²+4c²+4d²=5
∴5-a²≥（3-a）²，解之得1≤a≤2，
當且僅當2b=4c=4d且b+c+d=1時，即當b=

1

2

，c=d=

1

4

時，a有最大值2．
故選B

點評：本題在a+b+c+d=3，a²+2b²+4c²+4d²=5的情況下，求實數a的最大值，著重考查了柯西不等式及其應用，屬于中檔題，解題時應該注意柯西不等式等號成立的條件．