Question

（1）若關(guān)于x的不等式|x+1|-|x-2|＜a的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）已知實(shí)數(shù)a，b，c，滿足a+b+c=1，求（a-1）²+2（b-2）²+3（c-3）²最小值．

Answer 1

分析：（1）利用不等式的性質(zhì)對(duì)|x+1|-|x-2|進(jìn)行放縮和分類討論，求出|x+1|-|x-2|的最小值，即可求解．
（2）由a+b+c=1及柯西不等式得：[（a-1）²+2（b-2）²+3（c-3）²]（1+

1

2

+

1

3

）≥[（a-1）+2（b-2）+3（c-3）]²=25從而得出（a-1）²+2（b-2）²+3（c-3）²最最小值．

解答：解：（1）令f（x）=|x+1|-|x-2|
①x＜-1，f（x）=-1-x-（2-x）=-3；
②-1≤x≤2，f（x）=x+1-（2-x）=2x-1，∴-3≤f（x）≤3；
③x＞2，f（x）=x+1-（x-2）=3，
綜上f（x）≥-3，
∵關(guān)于x的不等式|x+1|-|x-2|＜a的解集不是空集，
∴a＞-3，
故答案為a＞-3．
（2）：由a+b+c=1及柯西不等式得
[（a-1）²+2（b-2）²+3（c-3）²]（1+

1

2

+

1

3

）≥[（a-1）+2（b-2）+3（c-3）]²=25，（11分）
所以（a-1）²+2（b-2）²+3（c-3）²≥

150

11

，（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=-

9

11

，b=

7

11

，c=

23

11

取等號(hào)，（14分）
故（a-1）²+2（b-2）²+3（c-3）²最最小值為

150

11

（15分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查柯西不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用、絕對(duì)值不等式的放縮問題及函數(shù)的恒成立問題，這類題目是高考的熱點(diǎn)，難度不是很大，要注意不等號(hào)進(jìn)行放縮的方向．