Question

【題目】已知：函數f（x）=loga（2+x）-loga（2-x）（a＞0且a≠1）

（Ⅰ）求f（x）定義域；

（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；

（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）{x|-2＜x＜2}（Ⅱ）奇函數（Ⅲ）當a＞1時，不等式解集為（0，2）；當0＜a＜1時，不等式解集為（-2，0）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數定義域需滿足對數的真數為正數；（Ⅱ）判斷奇偶性需在定義域對稱的基礎上判斷的關系；（Ⅲ）解不等式時對a分情況討論，利用對數函數的單調性得到關于x的不等式，從而求其解集

試題解析：（Ⅰ）解：∵f（x）=loga（2+x）-loga（2-x）（a＞0且a≠1）

∴，

解得-2＜x＜2，

故所求函數f（x）的定義域為{x|-2＜x＜2}．

（Ⅱ）f（-x）=loga（-x+2）-loga（2+x）=-[loga（x+2）-loga（2-x）]=-f（x），

故f（x）為奇函數．

（Ⅲ）原不等式可化為：loga（2+x）＞loga（2-x）

①當a＞1時，y=logax單調遞增，

∴

即0＜x＜2，

②當0＜a＜1時，y=logax單調遞減，

∴

即-2＜x＜0，

綜上所述：當a＞1時，不等式解集為（0，2）；當0＜a＜1時，不等式解集為（-2，0）