Question

【題目】如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)M是正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（ ）

①若點(diǎn)M在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)總滿足，則點(diǎn)M在平面ABCD內(nèi)的軌跡是圓的一部分；

②在平面ABCD內(nèi)作邊長(zhǎng)為1的小正方形EFGA，點(diǎn)M滿足在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且到平面的距離等于到點(diǎn)F的距離，則M在平面ABCD內(nèi)的軌跡是拋物線的一部分；

③已知點(diǎn)N是棱CD的中點(diǎn)，若點(diǎn)M在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且平面，則點(diǎn)M在平面內(nèi)的軌跡是線段；

④已知點(diǎn)P、Q分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)M為正方體表面上一點(diǎn)，若MP與CQ垂直，則點(diǎn)M所構(gòu)成的軌跡的周長(zhǎng)為.

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

對(duì)于①，結(jié)合圓錐的性質(zhì)，可判斷其正確；對(duì)于②，結(jié)合拋物線的定義，可知其正確；對(duì)于③，取AB的中點(diǎn)I，BC的中點(diǎn)O，易證平面平面，可知當(dāng)M在線段IO上時(shí)，滿足題意；對(duì)于④，只需過(guò)點(diǎn)P作直線CQ的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，求出周長(zhǎng)，即可判斷④正確.

對(duì)于①，因?yàn)闈M足條件的動(dòng)點(diǎn)M是以為軸線，以為母線的圓錐與平面ABCD的交線，即圓的一部分，故①是正確的；

對(duì)于②，依題意知點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與到直線AB的距離相等，所以M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，AB為準(zhǔn)線的拋物線，故②是正確的；

對(duì)于③，如圖（1），取AB的中點(diǎn)I，BC的中點(diǎn)O，顯然，，從而可以證明平面平面，當(dāng)M在線段IO上時(shí)，均有平面，即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線段IO，故③是正確的；

對(duì)于④，如圖（2），依題意，只需過(guò)點(diǎn)P作直線CQ的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡．分別取，的中點(diǎn)R，S，由，知，易知，又，，所以平面ABRS，過(guò)P作平面ABRS的平行平面，點(diǎn)M的軌跡為四邊形，其周長(zhǎng)與四邊形ABRS的周長(zhǎng)相等，所以點(diǎn)M所構(gòu)成的軌跡的周長(zhǎng)為，故④是正確的．

因此說(shuō)法正確的有4個(gè).

故選：D．