Question

設V是已知平面M上所有向量的集合，對于映射f：V→V，a∈V，記a的象為f（a）．若映射f：V→V滿足：對所有a，b∈V及任意實數λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），則f稱為平面M上的線性變換．現有下列命題：
①設f是平面M上的線性變換，a∈V，則對任意實數k均有f（ka）=kf（a）；
②對a∈V，設f（a）=2a，則f是平面M上的線性變換；
③設f是平面M上的線性變換，a，b∈V，若a，b共線，則f（a），f（b）也共線；
④若e是平面M上的單位向量，對a∈V，設f（a）=a-e，則f是平面M上的線性變換．
其中真命題是

 

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,集合

分析：對所有a、b∈V及任意實數λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），則f稱為平面M上的線性變換，抓住概念核心式，利用賦值法，對四個命題逐一分析．

解答： 解；①令λ=k，μ=0，則f（ka）=kf（a），故①是真命題，
②對a∈V，設f（a）=2a，則f（λa+μb）=2（λa+μb），
λf（a）+μf（b）=2λa+2μb=2（λa+μb），
即f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），f是平面M上的線性變換，故②是真命題；
③若a，b共線，則?實數λ，使得a=λb，f（0）=f（a-λb）=f（a）-λf（b）⇒f（a）=λf（b），
即f（a），f（b）也共線，故③是真命題；
④由f（a）=a-e，則有f（b）=b-e，f（λa+μb）=（λa+μb）-e
則λ•（a-e）+μ•（b-e）-e=λf（a）+μf（b）-e，
∵e是單位向量，e≠0，故④是假命題．
故答案為：①②③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查對新定義“平面M上的線性變換”的理解與應用，考查賦值法．