Question

【題目】設函數 ．
（Ⅰ）求曲線 在點 處的切線方程；
（Ⅱ）若 對 恒成立，求實數 的取值范圍；
（Ⅲ）求整數 的值，使函數 在區間 上有零點．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，

∴ ，∴所求切線方程為 ，即

（Ⅱ）∵ ，對 恒成立，∴ ，

設 ，令 ，得 ，令 得 ，

∴ 在 上遞減，在 上遞增，

∴ ，∴

（Ⅲ）令 得 ，當 時， ，

∴ 的零點在 上，

令 得 或 ，∴ 在 上遞增，又 在 上遞減，

∴方程 僅有一解 ，且 ，

∵ ，

∴由零點存在的條件可得 ，∴

【解析】(1)首先對原函數求導，即可求出在點 ( 1 , e ) 處的切線斜率，再代入點的坐標即可求出切線的方程。(2)通過構造函數并結合導數與函數的單調性即可求解。(3)結合導數與函數的單調性判斷出F ( x ) 在( 0 , + ∞ ) 上遞增，且F ( 1 ) >0，F() < 0，可知 F ( x ) 的零點屬于區間( , 1 )。