Question

【題目】已知函數 ，
（1）求函數的圖象在點 處的切線方程；
（2）當 時，求證： ；
（3）若 對任意的 恒成立，求實數 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解： ,所以 ，切點為(0,0) ∴切線為y=x

（2）解：證明：令g(x)= f(x)+x2-x= ex-x-1 ,g(x)= ex-1=0 ∴x=0

所以x (-∞，0)時，g(x)<0, g(x)單調遞減.x (0，+∞)時，g(x)>0, g(x)單調遞增

∴g(x)min= g(0)=0 ∴g(x) 0 ∴f(x) -x2+x

（3）解：f(x) kx對任意的x (0,+ ∞)恒成立等價于k< 對任意的x (0,+ ∞)恒成立

令h(x)= , ∴h(x)= 由(2)知x (0,+ ∞)時ex-x-1>0

∴x (0,1)時&#xF06A;&#xF0A2;h(x)<0, (x)單調遞減，x (1,+ ∞)時&#xF06A;&#xF0A2;h(x)>0, h(x)單調遞增

∴h(x)min=h(1)=e-2 ∴k<e-2 ∴k的取值范圍(-∞,e-2)

【解析】(1)求出原函數的導函數，得出 f ' ( 0 ) = 1 再求出f(0),由直線方程的點斜式得出結果。(2)根據題意構造 g(x) 對其求導，令導數值等于零求出極點進而可得出 g(x) 的單調性故可求出最小值，即可得證。(3)分離出k得到k與x的關系式,利用導數求出 g(x) 的最小值即可得到k<e-2。
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．