Question

【題目】已知函數f（x）=log22x﹣mlog2x+2，其中m∈R．
（1）當m=3時，求方程f（x）=0的解；
（2）當x∈[1，2]時，求f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令t=log2x，則當m=3時，方程f（x）=0可化為：t2﹣3t+2=0，解得：t=1或t=2

所以x=2或x=4

（2）解：令t=log2x，x∈[1，2]，

則t∈[0，1]，y=t2﹣mt+2，

其圖象開口朝上，且以直線x= 為對稱軸；

①當 ＜0，即m=0時，

則t=0，即x=1時，f（x）min=2；

②當0≤ ≤1，即0≤m≤2時，

則t=m，即x=2m時，f（x）min= +2；

③當 ＞1，即m＞2時，

則t=1，即m=2時，f（x）min=3﹣m；

綜上f（x）min=

【解析】（1）令t=log2x，則當m=3時，方程f（x）=0可化為：t2﹣3t+2=0，解得答案；（2）令t=log2x，x∈[1，2]，則t∈[0，1]，y=t2﹣mt+2，結合二次函數的圖象和性質，可得答案．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質和二次函數在閉區間上的最值，需要了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減；當時，當時，；當時在上遞減，當時，才能得出正確答案．