Question

已知a，b為常數，a¹0，函數．
（1）若a=2，b=1，求在（0，+∞）內的極值；
（2）①若a>0，b>0，求證：在區間[1，2]上是增函數；
②若，，且在區間[1，2]上是增函數，求由所有點形成的平面區域的面積．

Answer 1

（1），（2）①詳見解析，②

試題分析：（1）求具體函數極值問題分三步，一是求導，二是求根，三是列表，關鍵在于正確求出導數，即；求根時需結合定義區間進行取舍，如根據定義區間舍去負根；列表時需注意導數在對應區間的符號變化規律，這樣才可得出正確結論，因為導數為零的點不一定為極值點，極值點附近導數值必須要變號，（2）①利用導數證明函數單調性，首先要正確轉化，如本題只需證到在區間[1，2]上成立即可，由得只需證到在區間[1，2]上，因為對稱軸在區間[1，2]上單調增，因此只需證，而這顯然成立，②中條件“在區間[1，2]上是增函數”與①不同，它是要求在區間[1，2]上恒成立，結合二次函數圖像可得關于不等關系，再考慮，，可得可行域.
試題解析：（1）解:      2分
當時, ,
令得或(舍去)     4分
當時, 是減函數,
當時, 是增函數
所以當時, 取得極小值為     6分
（2）令  
① 證明: 二次函數的圖象開口向上,
對稱軸且       8分
對一切恒成立.
又對一切恒成立.
函數圖象是不間斷的,
在區間上是增函數.     10分
②解:
即
在區間上是增函數
對恒成立.
則對恒成立.
     12分
在(*)(**)的條件下, 且
且恒成立.
綜上,點滿足的線性約束條件是     14分
由所有點形成的平面區域為 (如圖所示),
其中
則
即的面積為.     16分