Question

已知函數，，，其中，且.
⑴當時，求函數的最大值；
⑵求函數的單調區間；
⑶設函數若對任意給定的非零實數，存在非零實數（），使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

⑴-1; ⑵詳見解析; ⑶

試題分析：⑴令g′（x）=0求出根，判斷g′（x）在左右兩邊的符號，得到g（x）在上單調遞增，在上單調遞減，可知g（x）最大值為g（1），并求出最值；
⑵解不等式得出函數的單調增區間，導數小于零求出單調遞減區間，注意單調區間與定義域取交集；
⑶不等式恒成立就是求函數的最值，注意對參數的討論.
試題解析：⑴當時， ∴
令，則， ∴在上單調遞增，在上單調遞減
∴                          （4分）
⑵，，（）
∴當時，，∴函數的增區間為，
當時，，
當時，，函數是減函數；當時，，函數是增函數.
綜上得，當時，的增區間為； 
當時，的增區間為，減區間為   （10分）
⑶當，在上是減函數，此時的取值集合；
當時，，
若時，在上是增函數，此時的取值集合；
若時，在上是減函數，此時的取值集合.
對任意給定的非零實數，
①當時，∵在上是減函數，則在上不存在實數（），使得，則，要在上存在非零實數（），使得成立，必定有，∴；
②當時，在時是單調函數，則，要在上存在非零實數（），使得成立，必定有，∴.
綜上得，實數的取值范圍為.                          （14分）.